방정식 계산기
음수 계수는 바로 위 부호에서 「−」를 고르세요. 소수는 넷째 자리까지 됩니다.
연립일차방정식의 둘째 식(dx + ey = g)에만 씁니다.
계산식: D = b² − 4ac = 1, x = (−b ± √D) ÷ 2a
풀이 과정 (판별식·근의 공식)
| 단계 | 식 |
|---|---|
| ① 식 | x² − 5x + 6 = 0 |
| ② 판별식 D = b² − 4ac | (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1 |
| ③ 판정 | D > 0 → 서로 다른 두 실근 |
| ④ 근의 공식 x = (−b ± √D) ÷ 2a | x = (5 ± √1) ÷ 2 |
| ⑤ 근 | x = 2 또는 x = 3 |
판별식 D의 부호와 근
| D | 근 | y = ax² + bx + c 그래프와 x축 |
|---|---|---|
| 내 결과D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만남 |
| D = 0 | 중근 | 한 점에서 접함 |
| D < 0 | 실근 없음 (서로 다른 두 허근) | 만나지 않음 |
그래프 꼭짓점 (펼쳐서 전체 보기 · 3행)
그래프 꼭짓점
| 항목 | 값 |
|---|---|
| 꼭짓점 x = −b/2a | 2.5 |
| 꼭짓점 y = c − b²/4a | −0.25 |
| 그래프 모양 | 아래로 볼록 (최솟값 −0.25) |
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계산 방법
일차방정식은 x가 없는 항을 반대편으로 옮기고(이항) x의 계수로 양변을 나눕니다. 이차방정식은 먼저 판별식 D = b² − 4ac로 근이 몇 개인지 보고, 근의 공식에 넣어 값을 구합니다. 연립일차방정식은 한 문자를 없애는 가감법으로 풀며, 계산기는 같은 결과를 내는 크라메르 공식으로 검산합니다.
일차: ax + b = c → x = (c − b) ÷ a
이차: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
연립: x = (ce − bg) ÷ (ae − bd), y = (ag − cd) ÷ (ae − bd)
계수에 음수가 있으면 숫자 칸 위의 부호 단추에서 「−」를 고르세요. 소수 계수는 넷째 자리까지 받으며, 계산기는 이를 분수로 바꿔 양변에 같은 수를 곱한 정수 계수 식으로 정리한 뒤 풉니다. 그래서 0.5x² − 2.5x + 3 = 0도 x = 2, 3처럼 깔끔한 답이 나옵니다.
판별식과 근의 종류
판별식 D = b² − 4ac
| D | 근 | 예 |
|---|---|---|
| D > 0, 제곱수 | 서로 다른 두 유리수 근 | x² − 5x + 6 = 0 → 2, 3 |
| D > 0, 제곱수 아님 | 서로 다른 두 무리수 근 | x² − 2 = 0 → ±√2 |
| D = 0 | 중근 | x² − 4x + 4 = 0 → 2 |
| D < 0 | 실근 없음 (두 허근) | x² + 2x + 5 = 0 → −1 ± 2i |
풀이 예시
| 문제 | 풀이 | 해 |
|---|---|---|
| 2x + 3 = 11 | 2x = 8 | x = 4 |
| 2x² + 2x − 1 = 0 | D = 4 + 8 = 12 = 2²·3 | x = (−1 ± √3) / 2 |
| x + y = 5, x − y = 1 | 두 식을 더하면 2x = 6 | x = 3, y = 2 |
| x + y = 1, 2x + 2y = 3 | 행렬식 0, 좌우 모순 | 해 없음 |
√ 안의 수는 제곱 인수를 밖으로 꺼내 가장 간단하게 씁니다. √12는 2√3이 되고, 분자·분모에 공통으로 남은 수는 약분합니다. 근호 꼴 옆에는 소수 근삿값도 함께 적어 두어 그래프나 실생활 값과 맞춰 보기 쉽게 했습니다.
자주 틀리는 점
- 이항할 때 부호를 그대로 두면 틀립니다. 2x + 3 = 11에서 3을 넘기면 2x = 11 − 3입니다.
- 근의 공식에서 b의 부호를 놓치기 쉽습니다. x² − 5x + 6 = 0이면 b = −5라서 −b = 5입니다. 계수 칸에는 크기를, 부호는 부호 단추로 넣으세요.
- 판별식이 음수라고 「해가 없다」로 끝내면 고등학교 이상에서는 틀릴 수 있습니다. 실수 범위에서는 근이 없지만 복소수 범위에서는 두 허근이 있습니다.
- a = 0인데 이차방정식 공식을 쓰면 0으로 나누게 됩니다. 이때는 일차방정식이므로 계산기가 자동으로 일차식으로 풉니다.
- 연립방정식에서 두 식이 평행한 직선이면 해가 없고, 같은 직선이면 해가 무수히 많습니다. 행렬식이 0이면 둘 중 하나입니다.
인수분해와 근과 계수의 관계
근이 유리수로 나오면 인수분해 꼴도 함께 보여 드립니다. x² − 5x + 6 = 0은 (x − 2)(x − 3) = 0이고, 두 괄호 중 하나가 0이면 되므로 x = 2 또는 3입니다. 시험에서는 근의 공식보다 인수분해가 빠른 경우가 많으니 계산 결과로 인수를 확인해 두면 도움이 됩니다.
두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a입니다. x² − 5x + 6 = 0이면 합 5, 곱 6이라 2와 3이 바로 떠오릅니다. 이 관계는 근을 직접 구하지 않고도 두 근의 제곱의 합 같은 값을 구할 때 쓰입니다. 접힌 표에는 포물선 y = ax² + bx + c의 꼭짓점도 정리해 두었습니다.
허근과 복소수 표기
판별식이 음수면 기본으로는 「실근 없음」만 보여 줍니다. 중학교 범위에서는 이것이 답이기 때문입니다. 고급 옵션에서 「복소수도 표시」를 고르면 i² = −1인 허수 단위 i를 써서 x = −1 ± 2i처럼 두 허근을 보여 줍니다. 두 허근은 실수부가 같고 허수부의 부호만 다른 켤레입니다.
계수가 아주 크면 정수로 바꾸는 과정에서 10^15를 넘을 수 있습니다. 그런 경우에는 정확한 근호 표기를 생략하고 소수 근삿값만 보여 드리며, 결과에 그 사실을 적어 둡니다. 방정식이 넓이나 비율 문제에서 나왔다면 넓이 계산기나 비율 계산기로 답을 다시 대입해 보는 것도 좋은 검산입니다.
자주 묻는 질문
x² − 5x + 6 = 0의 해는?
판별식 D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1 > 0이라 두 실근이 있고, x = (5 ± 1) ÷ 2 = 2, 3입니다. 인수분해하면 (x − 2)(x − 3) = 0입니다.
판별식은 왜 b² − 4ac인가요?
근의 공식에서 √ 안에 들어가는 부분이기 때문입니다. 이 값이 양수면 √가 실수라 근이 두 개, 0이면 하나(중근), 음수면 실수 범위에서는 근이 없습니다.
음수 계수는 어떻게 넣나요?
각 계수 칸 바로 위의 부호 단추에서 「−」를 고르고 칸에는 크기만 넣으세요. −5라면 부호 −, 숫자 5입니다.
연립방정식에서 해가 없다는 건 무슨 뜻인가요?
두 식을 그래프로 그리면 평행한 두 직선이라 만나는 점이 없다는 뜻입니다. 두 식이 사실상 같은 직선이면 해가 무수히 많습니다.
허근을 i로 보고 싶어요.
고급 옵션의 「이차방정식 실근이 없을 때」에서 「복소수(허근)도 표시」를 고르세요. x² + 2x + 5 = 0이면 x = −1 ± 2i로 나옵니다.
출처
2026년 기준 · 법령·기관 확인 기준일 2026-10-13 · 갱신일 2026.10.13
계수를 분수로 바꿔 정수 연산으로 풀며, 중간 값이 10^15를 넘으면 소수 근삿값만 보여 드립니다. 소수 근은 여덟째 자리에서 반올림한 값입니다.