소인수분해 계산기

계산 방법

소인수분해는 자연수를 소수들의 곱으로만 나타내는 일입니다. 2부터 시작해 나누어떨어지는 동안 계속 나누고, 더 나눌 수 없으면 3, 5, 7처럼 다음 소수로 넘어갑니다. 나눗셈 사다리를 그려 왼쪽에 나눈 소수를 적어 내려가는 방법이 교과서 방식이고, 계산기 결과 아래 표가 그 사다리입니다.

n = p₁^a × p₂^b × p₃^c 일 때
약수 개수 = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
최대공약수 = 공통 소인수의 작은 지수 곱, 최소공배수 = 모든 소인수의 큰 지수 곱
두 수 A, B: 최대공약수 × 최소공배수 = A × B

어떤 수가 소수인지 확인할 때는 그 수의 제곱근까지만 나눠 보면 됩니다. 101은 √101 ≈ 10.05라서 2, 3, 5, 7로만 나눠 보면 되고, 모두 나누어떨어지지 않으니 소수입니다. 계산기도 이 원리로 1조까지의 수를 빠르게 판별합니다.

계산 예시

소인수분해와 약수 개수

최대공약수·최소공배수

최대공약수는 두 수에 공통으로 들어 있는 소인수를 작은 지수로 골라 곱하고, 최소공배수는 어느 한쪽에라도 있는 소인수를 큰 지수로 골라 곱합니다. 계산기의 지수 비교 표가 이 선택을 한 줄씩 보여 줍니다.

자주 틀리는 점

• 1을 소수로 착각하기 쉽습니다. 소수는 약수가 1과 자기 자신 두 개뿐인 수라서, 약수가 하나뿐인 1은 소수도 합성수도 아닙니다.
• 9, 15, 21처럼 홀수를 모두 소수로 보면 틀립니다. 9 = 3², 15 = 3 × 5입니다.
• 소인수분해 결과에 4나 6 같은 합성수가 남으면 끝난 게 아닙니다. 360 = 2³ × 45로 멈추면 안 되고 45 = 3² × 5까지 나눠야 합니다.
• 최대공약수와 최소공배수를 고를 때 지수를 반대로 고르기 쉽습니다. 최대공약수가 작은 지수, 최소공배수가 큰 지수입니다.
• 세 수의 최소공배수를 두 수씩 곱해 구하면 틀립니다. 소인수분해한 뒤 소인수마다 가장 큰 지수를 골라야 합니다.

유클리드 호제법으로 최대공약수 구하기

수가 커서 소인수분해가 번거로울 때는 나눗셈만 반복하는 유클리드 호제법이 빠릅니다. 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 다시 작은 수를 나누는 일을 나머지가 0이 될 때까지 되풀이합니다. 360과 84라면 360 = 84 × 4 + 24, 84 = 24 × 3 + 12, 24 = 12 × 2 + 0이므로 마지막에 나눈 수 12가 최대공약수입니다.

「최대공약수·최소공배수」 모드에서 첫째와 둘째 수에 대한 호제법 단계가 표로 나옵니다. 셋째 수를 넣으면 세 수의 최대공약수와 최소공배수도 구하는데, 최소공배수가 10^15를 넘으면 정확한 값을 보장할 수 없어 안내 문구로 대신합니다.

약수 목록과 제곱수 만들기

약수는 작은 약수와 짝 약수를 나란히 보여 줍니다. 두 수를 곱하면 항상 원래 수가 되므로 360이면 1 × 360, 2 × 180, 3 × 120처럼 이어집니다. 약수가 많은 수는 표를 접어 두었다가 펼쳐 볼 수 있게 했고, 아주 많으면 앞쪽 120쌍까지만 보여 드립니다.

소인수분해한 지수가 모두 짝수면 제곱수입니다. 지수가 홀수인 소인수를 하나씩 더 곱하면 가장 작은 제곱수가 되는데, 360이면 2와 5를 곱해 360 × 10 = 3,600 = 60²입니다. 분수를 약분하거나 통분할 때도 최대공약수와 최소공배수를 쓰니 분수 계산기와 함께 보면 좋습니다.

자주 묻는 질문